普通の人はよく「正規分布normal distribution」って言葉を間違えて使うよね，とは思うわけだけれど。
やはり成績の正規分布化は不要（いとうDiary）
と，そこで引用されている
正規分布信仰と偏差値（Babylon5以外のメモ ｂｙ X^2）
とについて。
まず，正規分布≠「優が2割，良が....」ぢゃない，という点は当たり前。成績割合の配分なんて，別に正規分布でなくても，一様分布でも何でも，single-modalでもmulti-modalでも，作れる。「優が2割，,...」というのは，むしろ平均と分散をどう調整するかの話であって，分布の形の話ではない。
のはずなのに，そこを誤解している人が既に結構いるのは，どーしたもんか，と思ってしまう（うちにもいる）。
で，分布の形の話については，いとうブログで引用されている先のところに書いてあるんだけど，この説明がびみょーに間違ってる気がしないでもない。
こういう場合にCLTが成立しないのは，"iid assumption"のうち，最初のi (Independent)が落ちているからぢゃなくて，2つめのi (Identical)が落ちてるためだと思うんだけど。
つまり，independenceが要求されるのは，randam var（＝成績）の個別のdrawの間なので，この場合には，生徒一人一人のdrawがindependentであればよい（もちろん，学校とかクラスとかによって，intra-cluster dependenceがあるのは確かだけれども，まぁさほど本質的ぢゃない）。試験問題の一問一問の回答相互間のdependenceはあっても全く問題ない。このことはたとえば，「正答率pの生徒が，20個の設問に回答する」っていうbinomial distributionを考えてみればすぐ分かる。特定の生徒の20個の設問の正答率には相互に相関があるけれど，でもこの場合には当然CLTは成立する。
それじゃあ今度は，この正答率pがidenticalではなくて，生徒一人一人の能力が違うとしよう。そうすると，CLTが成り立たないことが分かる。たとえば，pが，[0.5, 0.9]でuniformに分布しているとして，100問の問題を1万人に解かせてみる，というシミュレーションデータを作ってみると，kernel densityはこんな感じになる：
これを作ったRのコードはこう：
library(lattice)n <- 10000
p <- runif(n, min=0.5, max=0.9)
grade <- rep(NA, n)
for (i in 1:n){
grade[i] <- rbinom(1, 100, p[i])
}
densityplot(grade)
この結果を見て分かるように，出てきた成績は，元の正答率pの分布
とよく似ていて，端をちょこっと丸めた感じになってることが分かる。そうすると，引用先のブログにある「もし全ての問題の正誤が100%相関するなら、その平均は単一の問題の得点分布に等しくなり、部分点が無ければ0点と100点に二本のスパイクが立つ分布になります」という部分は，問題間の正答率の相関が原因じゃなくて，そもそも生徒の能力が2種類しかない，という仮定に決定的に依存していることが分かる。
でも，これだけでは，何でmulti-modal（というか，よく見かけるのはbi-modal）な分布を現実によく見かけるんだろう？という点への説明にはなってない。
ここのところはおそらく，問題の数の少なさ（もうちょっと言うと，難易度の段階の数）によるんじゃないかと思う。たとえば，極端な例として，問題は2つしかなくて，その難易度が全然違うとしよう。そうすると，それぞれの個別の問題ごとの成績についてはnormal distributionになるとしても，それを足しあわせた総合成績は，2つのnormalのmixtureになって，bimodalな分布になってしまう。
たとえば，さっきと同じ正答率データを元に，最初の50問は同じで，次の50問は，生徒の間の能力差がより大きく現れる難しい問題だとして，シミュレーションしてみよう：
Rのコードはこう：
bm1 <- rep(NA, n)bm2 <- rep(NA, n)
bm <- rep(NA, n)
for (i in 1:n){
bm1[i] <- rbinom(1, 50, p[i])
bm2[i] <- rbinom(1, 50, p[i]^3)
bm[i] <- bm1[i]+bm2[i]
}
densityplot(bm)
こうしてみると，だいぶbimodalな分布に近くなってきた（今のところは，p~uniformにしているけれど，これをp~normalとかにしたら，もうちょっとbimodalなことがよく見えるはず）。要は，mixture distributionになってるんだよねぇ。
結局，何が問題かというと，data generating processに複数の次元があることについて，混乱があるんじゃないかと。成績というデータは，a) 生徒数, b) 生徒間heterogeneity，c) 問題数という少なくとも3つの次元があって，a)については確かにasymptoteに逃げ込めるだけれど，b)とc)があるので，multi-modalに見えることが多いと。仮にb)についてnormalityを仮定できても，僕たち個人の教員が作る問題だと，どうしても設問数（より正確には難易度差は）限定されてしまうので（だって採点が大変だ），asymptoteの世界に行けない。逆に，設問が多くて難易度のvariationが豊富な場合だと，割とnormalityを使えるんぢゃないだろーか。
